Knopka писал(а):

Здравствуйте.Помогите,пожалуйста,студентке.Не могу вникнуть в задачу,объясните,пожалуйста,кто-нибудь....
Задача: За период с 1990 по 2015 прирост производительности труда в США составил 35% прироста производительности труда в Японии.Темп роста этого показателя составил в США 0,5% в год,а уровень Японии состовлял в 1980г. 22% уровня США.Если указанная тенденция сохранится,когда Япония догонит США по производительности труда?

Рональд Дорси писал(а):

Knopka писал(а):

Здравствуйте.Помогите,пожалуйста,студентке.Не могу вникнуть в задачу,объясните,пожалуйста,кто-нибудь....
Задача: За период с 1990 по 2015 прирост производительности труда в США составил 35% прироста производительности труда в Японии.Темп роста этого показателя составил в США 0,5% в год,а уровень Японии состовлял в 1980г. 22% уровня США.Если указанная тенденция сохранится,когда Япония догонит США по производительности труда?

Здравствуйте, Knopka!
Наверно, у Вас ошибка в условии задачи, что "а уровень Японии состовлял в 1980г. 22% уровня США". Обычно в такой задаче установлен первый год периода, т.е. 1990 год.
Сообщите, верно ли я понял, что всё-таки верным годом следует считать 1990 год.
Если ошибаюсь, то все следует пересчитать.

Но именно с этим годом решим задачу.

Вычисляем базисный темп роста производительности труда в США, зная, что цепной темп прироста составляет 0,5% в год за период с 1990 по 2015 гг., то есть за 25 лет.
ТрПрСШАБаз=(1+0,005)^(25-1) = 1.127159...
Отсюда определяем темп прироста производительности труда в США за тот же период:
ТпрПрСШАБаз = 1-1,127159...=0,127159...
Из условий задачи известно, что за период 1990 - 2015 гг. темп прироста производительности труда в США составлял 35% прироста производительности труда в Японии. Отсюда темп прироста производительности труда в Японии составит:
ТпрЯпБаз = 0,127159.../0,35 = 0,36331364...
Таким образом базисный темп роста производительности труда за период 1990 - 2015 гг. в Японии составит:
ТрЯпБаз=1+0,36331364...=1,036331364...
Средний цепной темп роста за этот же период в Японии составит:
ТрЯпЦеп = Корень 25-1 степени из 1,036331364... = 1,049936966...
Средний цепной темп прироста за этот период в Японии составит
ТпрЯпЦеп = 1,0499363966...-1 = 0,0499363966...

Кроме того, мы знаем, что в 1990 году уровень производительности труда в Японии составил 22% от уровня США.
Таким образом, если обозначим за Х (икс) производительность труда в США в 1990 году, то производительность труда в Японии составит 0,22Х. С этой точки начинается рост производительности труда в обеих странах. При этом мы знаем цепные темпы прироста за период 1990-2015 гг в этих же странах. По условиям задачи эти темпы не могут измениться. При этом величины в какой-то момент t должны будут стать одинаковыми, то есть:

(1+0,005)^t * Х - это рост производительности труда в США за период 1990 - t,
(1+0,0499363966...)^t * 0,22 * X - это рост производительности труда в Японии также за период 1990 - t.

По условиям задачи эти выражения должны сравняться, то есть

1,005^t * Х = 1,0499363966...^t * 0,22 * X

Далее идет чистая математика.
Равенство не изменится, если обе части части разделить на X. Отсюда получаем:

1,005^t = 0,22 * 1,0499363966...^t

Для того чтобы избавиться от показателя степени, данное равенство прологарифмируем. Кстати, логарифмировать можно по любому основанию. Воспользуемся десятичным логарифмом.

Lg (1,005^t) = Lg (0,22 * 1,0499363966...^t)

Вспоминаем свойства логарифмов:
1. логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей;
2. логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
Отсюда получаем следующие преобразования:

t * Lg (1,005) = Lg(0,22) + t * Lg (1,0499363966..)

Вычисляем значения логарифмов (Excel вам в помощь) и получаем следующее равенство:

0,002166062... * t = -0,657577319... + 0,021163227... * t

Если перенести члены равенства и упростить, то получим:

0,657577319... = 0,021163227... * t - 0.002166062... * t

0,657577319... = 0,018997165 * t

Отсюда t = 34,6144978... года, или на 2025 году (1990+34,6144978...)

Проверяем по изначальному равенству

1,005^34,6144978... * Х = 1,0499363966...^34,6144978... * 0,22 * Х

Вычисляя выражения до Х получаем верное равенство:

1,18843966... Х = 1,18843966... X.

Таким образом,
Ответ: в 2025 году.